> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://zlt-shadow.gitbook.io/sicp-in-python-cn/llms.txt). 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在不同的机器上，确切的答案会有所不同，但是我们可以对所涉及的计算量做一些有用的一般性观察。 这个进程执行while语句体的总次数是小于$$\sqrt n$$的最大整数。 while语句前后的语句只执行一次。 因此，执行的语句总数是$$w \times \sqrt n + v$$，其中w是while语句体中的语句数，v是while语句之外的语句数。 尽管这个公式并不精确，但它通常描述了作为输入n的函数计算count\_factors需要多少时间。 很难获得更精确的描述。常数w和v根本不是常数，因为对因子的赋值语句有时执行，有时不执行。 增长顺序分析可以让我们忽略这些细节，而将重点放在增长的一般形状上。 特别地，count\_factors(n)的增长顺序精确地表示了计算计数因子count\_factors(n)所需的时间以$$\sqrt n$$的速率扩展，在一些常数因子的范围内。 **θ符号。** 设n为参数，测量一些过程的输入大小，让R (n)成为一些资源的过程需要一个输入的大小n。在我们之前的例子中我们把n的数量给定函数计算,但也有其他的可能性。例如，如果我们的目标是计算一个数字平方根的近似值，我们可以将n作为所需精度的位数。 **R(n)**可以测量使用的内存数量、执行的基本机器步骤的数量，等等。 在一次只执行固定步骤的计算机中，计算表达式所需的时间与计算过程中执行的基本步骤的数量成比例。 我们说R(n)具有θ (f(n))的生长阶，写成R(n)= θ (f(n))(发音为“f(n)的theta”)，如果存在与n无关的正常数k1和k2，则R(n)具有θ的生长阶 $$\begin{equation} k\_1 \cdot f(n) \leq R(n) \leq k\_2 \cdot f(n) \end{equation}$$ 换句话说，对于较大的n, R(n)总是被夹在两个随f(n)缩放的值之间： * A的下界$$k\_1 \cdot f(n)$$ * 一个上界$$k\_2 \cdot f(n)$$ 我们可以用这个定义来证明计算count\_factors(n)所需的步骤数与θ (n)一样增长。 首先，我们选择k1=1和m=0，使下界状态为对于任意n>0 count\_factors(n)需要至少$$\sqrt n$$步。 在while语句之外至少执行了4行，每一行至少需要执行1步。在while正文中至少有两行执行，以及while头本身。 所有这些至少需要一个步骤。 while主体至少要计算$$\sqrt n -1$$次。组合这些下界，我们看到这个过程至少需要$$4 + 3 \cdot ( \sqrt n-1)$$步，总是大于$$k\_1 \cdot \sqrt n$$。 第二，我们可以验证上界。 我们假设count\_factors正文中的任何一行最多需要p步。 这个假设并不是对每一行Python都成立，但是在这个例子中是成立的。 然后，计算count\_factors(n)最多需要$$p \cdot(5+4\sqrt n)$$，因为在while语句之外有5行，而在语句内部有4行(包括头文件)。 即使每个if头值都为true，这个上界也保持不变。 最后，如果我们选择$$k\_2=5p$$，那么所需的步骤总是小于$$k \cdot \sqrt n$$ 。我们的论证结束了。 ### 2.8.4 例子:求幂 考虑计算给定数的指数的问题。我们想要一个以b为底和正整数指数n为参数的函数，并计算$$b^n$$。一种方法是通过递归定义 $$ \begin{align\*} b^n &= b \cdot b^{n-1} \\ b^0 &= 1 \end{align\*} $$ 这很容易转化为递归函数 ``` >>> def exp(b, n): if n == 0: return 1 return b * exp(b, n-1) ``` 这是一个线性递归过程，需要θ (n)步和θ (n)空间。就像阶乘一样，我们可以很容易地建立一个等价的线性迭代，它需要相同的步数，但空间不变。 ``` >>> def exp_iter(b, n): result = 1 for _ in range(n): result = result * b return result ``` 通过使用连续的平方，我们可以在更少的步骤中计算指数。例如，与其计算$$b^8$$不如 $$ \begin{equation\*} b \cdot (b \cdot (b \cdot (b \cdot (b \cdot (b \cdot (b \cdot b)))))) \end{equation\*} $$ 我们可以用三次乘法来计算： $$ \begin{align\*} b^2 &= b \cdot b \\ b^4 &= b^2 \cdot b^2 \\ b^8 &= b^4 \cdot b^4 \end{align\*} $$ 这种方法适用于指数为2的幂的情况。如果我们使用递归规则，我们也可以在计算指数时利用逐次平方的优势 $$ \begin{equation\*} b^n = \begin{cases} (b^{\frac{1}{2} n})^2 & \text{if $n$ is even} \\ b \cdot b^{n-1} & \text{if $n$ is odd} \end{cases} \end{equation\*} $$ 我们也可以将此方法表示为递归函数： ``` >>> def square(x): return x*x ``` ``` >>> def fast_exp(b, n): if n == 0: return 1 if n % 2 == 0: return square(fast_exp(b, n//2)) else: return b * fast_exp(b, n-1) ``` ``` >>> fast_exp(2, 100) 1267650600228229401496703205376 ``` fast\_exp演进的进程在空间和步骤数上以n为对数增长。 要看到这一点，请注意使用fast\_exp计算$$b^{2n}$$只需要比计算$$b^n$$多一次乘法运算。 因此，我们可以计算的指数大小在允许的每一次新的乘法运算中都翻倍(大约)。 因此，n的指数所需的乘法次数的增长速度与n以2为底的对数的增长速度一样快。 该过程具有θ (logn)生长。 θ (logn)生长与θ (n)生长之间的差异随着n的增大而显著。 例如，当n为1000时，fast\_exp只需要14次乘法，而不是1000。 ### 2.8.5 增长类别 设计增长阶数是为了简化计算过程的分析和比较。 许多不同的过程都有相同的增长数量级，这表明它们以类似的方式扩展。 这是一个计算机科学家的基本技能，知道和识别共同的增长顺序，并识别相同的顺序的过程。 **常量。** 常数项不影响过程的增长顺序。 所以，例如，θ (n)和θ ($$500 \cdot n$$)是同一生长阶。 这个性质来自于符号的定义，它允许我们选择任意常数$$k\_1$$和$$k\_2$$(比如$$\frac{1}{500}$$ )作为上界和下界。 为了简单起见，常量总是在增长顺序中被忽略。 **对数。** 对数的底数不影响过程的增长顺序。 例如，$$log\_2 n$$和$$log\_{10} n$$的增长顺序是相同的。 改变对数的底数等于乘以一个常数因子。 **嵌套。** 当一个内部计算过程对外部过程中的每一步重复时，则整个过程的增长顺序是外部过程和内部过程中步骤数量的乘积。 例如，下面的函数overlap计算列表a中同时出现在列表b中的元素的数量。 ``` >>> def overlap(a, b): count = 0 for item in a: if item in b: count += 1 return count ``` ``` >>> overlap([1, 3, 2, 2, 5, 1], [5, 4, 2]) 3 ``` 在操作符列表需要Θ(n)，其中n是列表b的长度。用于Θ(m),其中m的列表a的长度。列表b中的表达式是内在的过程，for项目在一个循环中是外面的过程。 该函数的总生长阶为θ ($$m \cdot n$$)。 低阶项。当一个进程的输入增长时，计算中增长最快的部分支配着所使用的总资源。符号抓住了这种直觉。总的来说，除增长最快的项外，所有项都可以去掉，而不改变增长顺序。 例如，考虑one\_more函数，它返回列表a的元素比a的其他元素大一的个数。也就是说，在列表\[3,14,15,9]中，元素15比14多一个，因此one\_more将返回1。 ``` >>> def one_more(a): return overlap([x-1 for x in a], a) ``` ``` >>> one_more([3, 14, 15, 9]) 1 ``` 这个计算分为两个部分：列表推导和overlap调用。 对于长度为n的列表a，列表综合需要θ (n)步，而调用overlap需要θ ($$n^2$$)步。 台阶的和是θ ($$n+n^2$$)，但这不是表达增长顺序的最简单的方式。 θ ($$n^2 + k \cdot n$$)和θ ($$n^2$$)对任何常数k都是等价的，因为对任何k来说，$$n^2$$项最终将支配k的总数。事实上，只有当n大于某个最小m时，边界才成立这个等价性。 为了简单起见，低阶项总是在增长顺序中被忽略，所以我们永远不会在表达式中看到一个和。 **常见类别。** 有了这些等价性，就会出现一小部分共同的范畴来描述大多数的计算过程。 下面列出了最常见的从最慢到最快的增长，以及随着投入增加的增长的描述。 下面是每个类别的示例。 | 类别 | θ符号 | 增长描述 | 示例 | | -- | ----------------- | ----------- | --------- | | 常数 | $$\Theta(1)$$ | 增长与输入无关 | abs | | 对数 | $$\Theta(log n)$$ | 乘以输入的增量资源 | fast\_exp | | 线性 | $$\Theta(n)$$ | 增加输入会增加资源 | exp | | 二次 | $$\Theta(n^2)$$ | 增加输入会增加n个资源 | one\_more | | 指数 | $$\Theta(b^n)$$ | 增加输入会使资源倍增 | fib | 其它类别也存在，如$$\Theta(\sqrt n)$$计数因子的增长。 然而，这些类别特别常见。 指数增长描述了许多不同的增长顺序，因为改变基数b确实会影响增长顺序。 例如，我们的树递归斐波那契计算fib的步骤数在输入n时呈指数增长。特别地，我们可以证明第n个斐波那契数是最接近的整数 $$ \begin{equation\*} \frac{\phi^{n-2}}{\sqrt{5}} \end{equation\*} $$ 其中，ϕ为黄金比例： $$ \begin{equation\*} \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6180 \end{equation\*} $$ 此外，树递归过程需要$$\Theta(\phi^n)$$步，这是一个随n指数增长的函数。 | | | - |